МАТЕМАТИЧЕСКИ КАЛЕЙДОСКОП: ПИТАГОРОВА ТЕОРЕМА

Питагоровата теорема е една от най-важните теореми в евклидовата геометрия, изразяваща връзката между дължините на страните на правоъгълен триъгълник:

a^{2}+b^{2}=c^{2}\!\,

където c е дължината на хипотенузата (страната срещу правия ъгъл на триъгълника), а a и b са дължините на двата катета (страните, образуващи правия ъгъл).

Изразена чрез лица, теоремата гласи:

За всеки правоъгълен триъгълник лицето на квадрата със страна хипотенузата е равна на сбора от лицата на двата квадрата със съответни страни катетите.

Теоремата носи името на древногръцкия философ и математик Питагор (570-495 пр.н.е.), на когото традицията приписва нейното откриване и доказване, въпреки че тя изглежда е известна дълго преди това. Съществуват свидетелства, че още математиците във Вавилон разбират тази зависимост.

Питагоровата теорема свързва както дължините на страните на правоъгълния триъгълник, така и площите на съответните им квадрати, т.е. тя има както площна, така и линейна интерпретация.

Доказателства по метода на разлагането

Съществуват много доказателства на теоремата на Питагор, в които квадратите построени на катетите и на хипотенузата се разрязват така, че всяка част на квадрата , построен на хипотенузата, съответства част на един от квадратите, построени на катетите. Във всички тези случаи за разбиране на доказателствата е достатъчен един поглед на чертежа. Трябва само да се отбележи, че доказателството не трябва да се счита за пълно, докато не се докаже равенство на всички съответсващи една към друга части.

Доказателство на Нилсен

На рисунката вспомагателните линии са изменени по предложение на Нилсен.

Доказателство на Бетхер

На рисунката е дадено много нагледно разлагането на Бетхер.

Доказателство на Перикъл

В учебниците нерядко се среща разлагане като указаното на рисунката,; това доказателство е намерено от Перикъл. Чрез центъра О квадрата, построен на големия катет, прокаран право паралелно и перпендикулярно на хипотенузата. Съответствието на частите на фигурите се вижда много добре на чертежа.

Доказателство на Гутхейл

Изобразеното на рисунката разложение принадлежи на Гутхейл; за него е характерно нагледното разположение на отделните части, което позволява веднага да се види, какви опростения влече след себе си равнобедренния правоъгълен триъгълник.